viernes, 13 de mayo de 2016

ANÁLISIS DIMENSIONAL- SESIÓN

                                      SESIÓN DESARROLLADA DEL  APRENDIZAJE


I.- UNIDAD DE TRABAJO: ANÁLISIS  DIMENSIONAL
II.-PROGRAMA INFORMACIÓN:
1.- Análisis Dimensional.- Concepto y consideraciones
2.- Principio de homogeneidad
3.- Expresiones adimensionales
3.- Ejercicios  sobre análisis  dimensiónales   
 
III.- OBJETIVOS.-·       Reconocen una ecuación dimensional y el principio de  homogeneidad
·       Resuelven ecuaciones dimensionales
IV:_INICIO.- Motivación.-(10 min.).-Los alumnos comparan una ecuación matemática y  una ecuación dimensional en física y  realizan simples  cálculos  mentales para determinar  una operación física.
V.- PROCESO. ADQUISICIÓN  Y RETENCIÓN (65 min.)
1.- analisis  DIMENSIONAL.-
CONCEPTO.-     Es aquella igualdad matemática que nos indica la relación que existe entre una magnitud derivada y las magnitudes fundamentales. Aplicado a una  expresión  llamada ecuación física, permite evaluar si la  ecuación es dimensionalmente correcta (homogénea)
                  La dimensión de una magnitud física se representa de la siguiente forma 
[ A ] dimensión   de la  magnitud física “A” o ecuación dimensional de A
Ejemplos:
1).- [Longitud]  = L
2).- [masa) = M
3).- [tiempo] = T
MAGNITUD

FORMULA
ECUACION DIMENSIONAL
Área (A)
A= (longitud)(longitud)
[A] = L x L  =  L2
Volumen (V)
V= (longitud) (longitud) (longitud)
[V] = L x L x L  = L3
Velocidad (v)
v =  espacio     v = L
        tiempo           T
[v] =  [L ]   =  LT -1
         [T] 
Aceleración (a)
a=  velocidad    a = v   = 
       tiempo              T

[a] =  [v]  =  LT-1  = LT-2
          [t]         T
Fuerza (F)
F= (masa) (aceleración) = F= m.a
[F] = [m] [a]   = MLT -2
Presión (p)
P =  fuerza   =  p =   F
        Área                 A
[p] = [F]  = MLT -2  = ML-1 T-2
        [A]        L2
Trabajo (W)
W= (fuerza) (distancia) = W= F x d
[W] = [F] [d] = MLT-2x L = ML2T-2
Potencia (P)
P= trabajo       p = W  =
      Tiempo            T
[P]  = [W]  = ML2T-2  = ML2 T-3
          [T]          T    
Densidad (D)
D = masa             D =  m
       Volumen               V
[D]=  [M] =  M   = ML-3
         [V]      L3




1.- -EXPRESIONES ALGEBRAICAS.-   El análisis dimensional se rigen  por las leyes algebraicas, excepto en las sumas y restas.

a).- T+ T – T + T = T                            

b).-    ML-1  +  ML-1  = ML-1  

b).- X= A.B      >>>>  [X] =  [AB]    >>>>>  [X] =  [A] [B]

c).-  X = A      >>>> [X] =  [ A ]    >>>>>>  [X]  =    [A]
              B                         [ B ]                               [B]

d).-  X = An  =     [ X ]  =  [A] 
            n                           n
e).-  X =  A    =  [X]   =   V[ A ]           

2.- CRITERIO DE HOMOGENEIDAD.- Mediante este principio se verifica los siguiente: “Si una formula física es correcta, entonces todos los términos  de la ecuación deben ser dimensionalmente iguales”
Ejemplo 1.-
     A + B    =   C  - D
    [ A ]   =  [B]  = [C]  = [ D ]

Ejemplo 2.-
          M = R + V  x  W
            se cumple [M] = [R] =[V] [W]
Ejemplo:
 Analiza la formula para calcular la altura  en caída libre.
Solución:   h =   V0  x  t +1/2g t2
                  m  =    m   x   s   +   m    s2
                            s                s2      
                   m        m          m
                    L    =  L    =     L    =  L
Nota: Observamos que cada uno de los términos tienen la misma unidad  de longitud [L] es decir que dimensionalmente son iguales.

3.- terminos ADIMENSIONALES.- Son términos o expresiones que no poseen dimensiones  entre los mas  notables tenemos:


·       [números]
·       [ ]
·       [e]
·       [log]
·       [sen ]
·       [ángulo]
·       [ax2 +bx+c]



OBJETIVOS DEL ANALISIS DIMENSIONAL
1.- Expresar las magnitudes derivadas  en función a las magnitudes fundamentales
2.-Comprobar la validez de las formulas física en base al principio de la homogeneidad dimensional
3.- Realizar conversiones de unidades
4.- Detección de errores de cálculo.
5.- Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables.
6.- Creación y estudio de modelos reducidos.
7.- Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos
RECOMENDACIONES BASICA.-
1.- La suma o resta de las mismas unidades, da la misma  unidad.
Ejemplos:
a).- T+ T – T + T = T                             b).-    ML-1  +  ML-1  = ML-1
2.-Los coeficientes numéricos no se consideran, se reemplazan por  1.
Ejemplos
a).- 2L +8L = L                            b).- π + 62,4T = T
3.- Cuando la ecuación dimensional esta expresada en forma de quebrado, se hace entera cambiando el signo a los exponentes.
Ejemplos:
a)  LT  =  LTM-1            b).-   L  = LT -2
      M                               T2
4.- Para indicar que la relación  es una ecuación  dimensional se utiliza el signo
 [   ]
Ejemplos
a).-  Dimensión  velocidad   [ v] = LT-1            b).- Dimensión fuerza  [F]  = MLT-2
5.- Las funciones trigonometriítas y las dimensiones de ángulos  carecen de dimensión  por consiguiente se les da el valor de  1.
Ejemplos
[ 130º ] = 1           [Tang 28º ]  = 1



Ejercicios
Ejercicio 1 .- Determina la ecuación dimensional  de la velocidad .
Solución.  Formula  v=   e
                                     t
Donde:   e= L                 reemplazando   valores tenemos:   v=  L                 [ v] = LT-1
               t = T                                                                           T
Ejercicio  2.- Halla la ecuación dimensional de la aceleración.  Formula    a= v/t

Donde : a= v       =  [a]  =  LT-1     =  LT-1 . T -1   =  Rpta:  [a] =  LT -2
                   t                       T
Ejercicio 3.-
Expresa la fuerza determinante.   Formula  F =  m . a
En donde:
m= masa = M
a= Aceleración =    v    =  LT-2
                              t
Solución: Reemplazando términos  F = m x a   è  [F]= M x LT-2      Rpta:  [F]= MLT-2
Ejercicio 4.- La ley de la atracción universal de las masas establece que .    
F = k  m1 x m2
             d2
Halla la ecuación dimensional de k.
Solución:
Despejando k tenemos:  k =  F d2      =  [k ] (MLT-2) (L2) =  Rpta.  M-1L3T-2
                                            m1 x m2                M x M

Ejercicio 5.- Determina la ecuación dimensional  de C en la siguiente expresión:
C =   ZX3      
        2 π r E                                                  
Siendo: 
Z= masa         
X= velocidad       
E= Superficie             
2 π r = Longitud de la Circunferencia

C =   ZX3     =  /C/ = (M) (L3T-3)  =  Rpta:   MT -3
       2 π r E                      L x L2
 
Para  determinar el valor de C se calculan las ecuaciones dimensionales de cada uno de los elementos de la ecuación:
/Z/ = M
/X/ = (LT-1)3 = L3T-3
/2 π r/ = L
/E/ = L2
Ejercicio 6.- Determina la ecuación dimensional de la siguiente fórmula : J =  3 Q R2S   siendo :
R= Potencia
Q= Peso especifico
S= Densidad
Encontrando las ecuaciones dimensiónales de cada uno de los elementos de la ecuación

/Q/= ML-2 T-2                      /R/ = (ML2T-3) 2  = M2 L4 T-6           /S/ = ML-3

Reemplazando los valores de la ecuación propuestos se tiene:

 

[J]=  3√ ML-2 T-2 M2 L4 T-6 ML-3
 

[J ]  3 M4 L-1 T-8   = Rpta:   M 4/3 L-1/2 T -8/3

Ejercicio 7.- Determina  las unidades  en el Sistema Internacional de R = v2 D  Siendo
                                                                                                                   A       
v=velocidad       a= Aceleración       D= densidad
Aplicando el principio de homogeneidad dimensional, se tiene:
/R/ = /v2/ /D/
            /a /
Luego reemplazamos la dimensión de cada magnitud.

/R/=  (LT-1)2 ML -3L2 T-2 ML-1
                LT-2                LT -2
/R/ = L2T-2ML-3L-1T2 =  L-2 M

/R/ = ML-2
Rpta: Por lo tanto las unidades de R  en el SI son el Kilogramo y el metro

VII:_ CIERRE.- ( 10 min.) visitamos  el aula de innovación para  presenciar y ejecutar ejercicios  sobre análisis dimensional
CUESTIONARIO
1.-¿Para que se usa  las ecuaciones dimensiónales?
2.- ¿Cuales son los objetivos principales del análisis dimensional?
3.- Halla  la ecuación dimensional del trabajo
4.- Determina dimensionalmente las siguientes ecuaciones


a.- Presión
b.- Volumen
c.- Energía cinética
d).- Potencia
e).- densidad
f).-  peso específico


5.- Expresa dimensionalmente Q en la siguiente formula: Q= W [π- (log K)3) ]Siendo:
W= trabajo
V= Velocidad
k= constante
π= 3.14
6.- Demuestra dimensionalmente la siguiente formula es una longitud (L):  d= vt + at2
                                                                                                                            
7.- Calcula la dimensión de:  E = P  x   g 
                                                    Pe x  v2
Siendo:
g= aceleración de la gravedad
P= presión
Pe= peso especifico
v= velocidad
8.- Halla la ecuación dimensional de la energía cinética, cuya formula es:
 Ec= ½ mv2
9.- Halla la ecuación dimensional del periodo de un péndulo:   T = 2 π Lx g y

                                                            


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