ECUACIONES DIMENSIONALES.- SESIÓN

SESIÓN DESARROLLADA DEL  APRENDIZAJE

I.- UNIDAD DE TRABAJO: ECUACIONES DIMENSIONALES 

II.-PROGRAMA INFORMACIÓN:

1.- Análisis Dimensional.- Concepto y consideraciones

2.- Principio de homogeneidad

3.- Expresiones adimensionales

3.- Ejercicios  sobre análisis  dimensiónales   

III.- OBJETIVOS.-

·       Reconocen una ecuación dimensional y el principio de  homogeneidad

·       Resuelven ecuaciones dimensionales

IV:_INICIO.- Motivación.-(10 min.).-Los alumnos comparan una ecuación matemática y  una ecuación dimensional en física y  realizan simples  cálculos  mentales para determinar  una operación física.

V.- PROCESO. ADQUISICIÓN  Y RETENCIÓN (65 min.)

1.- analisis  DIMENSIONAL.-

CONCEPTO.-     Es aquella igualdad matemática que nos indica la relación que existe entre una magnitud derivada y las magnitudes fundamentales. Aplicado a una  expresión  llamada ecuación física, permite evaluar si la  ecuación es dimensionalmente correcta (homogénea)

                  La dimensión de una magnitud física se representa de la siguiente forma 

[ A ] dimensión   de la  magnitud física “A” o ecuación dimensional de A

Ejemplos:

1).- [Longitud]  = L

2).- [masa) = M

3).- [tiempo] = T

MAGNITUD	FORMULA	ECUACION DIMENSIONAL
Área (A)	A= (longitud)(longitud)	[A] = L x L  =  L2
Volumen (V)	V= (longitud) (longitud) (longitud)	[V] = L x L x L  = L3
Velocidad (v)	v =  espacio     v = L         tiempo           T	[v] =  [L ]   =  LT -1          [T]
Aceleración (a)	a=  velocidad    a = v   =         tiempo              T	[a] =  [v]  =  LT-1  = LT-2           [t]         T
Fuerza (F)	F= (masa) (aceleración) = F= m.a	[F] = [m] [a]   = MLT -2
Presión (p)	P =  fuerza   =  p =   F         Área                 A	[p] = [F]  = MLT -2  = ML-1 T-2         [A]        L2
Trabajo (W)	W= (fuerza) (distancia) = W= F x d	[W] = [F] [d] = MLT-2x L = ML2T-2
Potencia (P)	P= trabajo       p = W  =       Tiempo            T	[P]  = [W]  = ML2T-2  = ML2 T-3           [T]          T
Densidad (D)	D = masa             D =  m        Volumen               V	[D]=  [M] =  M   = ML-3          [V]      L3

1.- -EXPRESIONES ALGEBRAICAS.-   El análisis dimensional se rigen  por las leyes algebraicas, excepto en las sumas y restas.

a).- T+ T – T + T = T                            

b).-    ML^-1  +  ML^-1  = ML^-1  

b).- X= A.B      >>>>  [X] =  [AB]    >>>>>  [X] =  [A] [B]

c).-  X = A      >>>> [X] =  [ A ]    >>>>>>  [X]  =    [A]

              B                         [ B ]                               [B]

d).-  X = Aⁿ  =     [ X ]  =  [A]ⁿ   

            _{n                           n}

e).-  X =  √ A    =  [X]   =   V[ A ]           

2.- CRITERIO DE HOMOGENEIDAD.- Mediante este principio se verifica los siguiente: “Si una formula física es correcta, entonces todos los términos  de la ecuación deben ser dimensionalmente iguales”

Ejemplo 1.-

     A + B    =   C  - D

    [ A ]   =  [B]  = [C]  = [ D ]

Ejemplo 2.-

          M = R + V  x  W

            se cumple [M] = [R] =[V] [W]

Ejemplo:

 Analiza la formula para calcular la altura  en caída libre.

Solución:   h =   V₀  x  t +1/2g t²

                  m  =    m   x   s   +   m    s²

                            s                s²      

                   m        m          m

                    L    =  L    =     L    =  L

Nota: Observamos que cada uno de los términos tienen la misma unidad  de longitud [L] es decir que dimensionalmente son iguales.

3.- terminos ADIMENSIONALES.- Son términos o expresiones que no poseen dimensiones  entre los mas  notables tenemos:

·       [números]

·       [  ]

·       [e]

·       [log]

·       [sen ]

·       [ángulo]

·       [ax² +bx+c]

OBJETIVOS DEL ANALISIS DIMENSIONAL

1.- Expresar las magnitudes derivadas  en función a las magnitudes fundamentales

2.-Comprobar la validez de las formulas física en base al principio de la homogeneidad dimensional

3.- Realizar conversiones de unidades

4.- Detección de errores de cálculo.

5.- Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables.

6.- Creación y estudio de modelos reducidos.

7.- Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos

RECOMENDACIONES BASICA.-

1.- La suma o resta de las mismas unidades, da la misma  unidad.

Ejemplos:

a).- T+ T – T + T = T                             b).-    ML^-1  +  ML^-1  = ML^-1

2.-Los coeficientes numéricos no se consideran, se reemplazan por  1.

Ejemplos

a).- 2L +8L = L                            b).- π + 62,4T = T

3.- Cuando la ecuación dimensional esta expresada en forma de quebrado, se hace entera cambiando el signo a los exponentes.

Ejemplos:

a)  LT  =  LTM^-1            b).-   L  = LT ^-2

      M                               T²

4.- Para indicar que la relación  es una ecuación  dimensional se utiliza el signo

 [   ]

Ejemplos

a).-  Dimensión  velocidad   [ v] = LT^-1            b).- Dimensión fuerza  [F]  = MLT^-2

5.- Las funciones trigonometriítas y las dimensiones de ángulos  carecen de dimensión  por consiguiente se les da el valor de  1.

Ejemplos

[ 130º ] = 1           [Tang 28º ]  = 1

Ejercicios

Ejercicio 1 .- Determina la ecuación dimensional  de la velocidad .

Solución.  Formula  v=   e

                                     t

Donde:   e= L                 reemplazando   valores tenemos:   v=  L                 [ v] = LT^-1

               t = T                                                                           T

Ejercicio  2.- Halla la ecuación dimensional de la aceleración.  Formula    a= v/t

Donde : a= v       =  [a]  =  LT^-1     =  LT^-1 . T ^-1   =  Rpta:  [a] =  LT ^-2

                   t                       T

Ejercicio 3.-

Expresa la fuerza determinante.   Formula  F =  m . a

En donde:

m= masa = M

a= Aceleración =    v    =  LT^-2

                              t

Solución: Reemplazando términos  F = m x a   è  [F]= M x LT^-2      Rpta:  [F]= MLT^-2

Ejercicio 4.- La ley de la atracción universal de las masas establece que .    

F = k  m₁ x m₂

             d²

Halla la ecuación dimensional de k.

Solución:

Despejando k tenemos:  k =  F d²      =  [k ] (MLT^-2) (L²) =  Rpta.  M^-1L³T^-2

                                            m₁ x m₂                M x M

Ejercicio 5.- Determina la ecuación dimensional  de C en la siguiente expresión:

C =   ZX³      

        2 π r E                                                  

Siendo: 

Z= masa         

X= velocidad       

E= Superficie             

2 π r = Longitud de la Circunferencia

C =   ZX3     =  /C/ = (M) (L3T-3)  =  Rpta:   MT -3        2 π r E                      L x L2

Para  determinar el valor de C se calculan las ecuaciones dimensionales de cada uno de los elementos de la ecuación:

/Z/ = M

/X/ = (LT^-1)³ = L³T^-3

/2 π r/ = L

/E/ = L²

Ejercicio 6.- Determina la ecuación dimensional de la siguiente fórmula : J =  ³√ Q R²S   siendo :

R= Potencia

Q= Peso especifico

S= Densidad

Encontrando las ecuaciones dimensiónales de cada uno de los elementos de la ecuación

/Q/= ML^-2 T^-2                      /R/ = (ML²T^-3) ²  = M² L⁴ T^-6           /S/ = ML^-3

Reemplazando los valores de la ecuación propuestos se tiene:

 [J]=  ³√ ML^-2 T^{-2 M2} L⁴ T^-6 ML^-3

[J ]  3 √ M4 L-1 T-8   = Rpta:   M 4/3 L-1/2 T -8/3 Ejercicio 7.- Determina  las unidades  en el Sistema Internacional de R = v2 D  Siendo

                                                                                                                   A       

v=velocidad       a= Aceleración       D= densidad

Aplicando el principio de homogeneidad dimensional, se tiene:

/R/ = /v²/ /D/

            /a /

Luego reemplazamos la dimensión de cada magnitud.

/R/=  (LT^-1)² ML ^-3 =  L² T^-2 ML^-1

                LT^-2                LT ^-2

/R/ = L²T^-2ML^-3L^-1T² =  L^{-2 M}

/R/ = ML^-2

Rpta: Por lo tanto las unidades de R  en el SI son el Kilogramo y el metro

VII:_ CIERRE.- ( 10 min.) visitamos  el aula de innovación para  presenciar y ejecutar ejercicios  sobre análisis dimensional

CUESTIONARIO

1.-¿Para que se usa  las ecuaciones dimensiónales?

2.- ¿Cuales son los objetivos principales del análisis dimensional?

3.- Halla  la ecuación dimensional del trabajo

4.- Determina dimensionalmente las siguientes ecuaciones

a.- Presión

b.- Volumen

c.- Energía cinética

d).- Potencia

e).- densidad

f).-  peso específico

5.- Expresa dimensionalmente Q en la siguiente formula: Q= W [π- (log K)³) ]²  Siendo:

W= trabajo

V= Velocidad

k= constante

π= 3.14

6.- Demuestra dimensionalmente la siguiente formula es una longitud (L):  d= vt + at²

                                                                                                                            

7.- Calcula la dimensión de:  E = P  x   g 

                                                    Pe x  v²

Siendo:

g= aceleración de la gravedad

P= presión

Pe= peso especifico

v= velocidad

8.- Halla la ecuación dimensional de la energía cinética, cuya formula es:

 E_c= ½ mv²

9.- Halla la ecuación dimensional del periodo de un péndulo:   T = 2 π L^x g ^y