martes, 26 de abril de 2016

CIFRAS SIGNIFICATIVAS.- SESIÓN

SESION DESARROLLADA DEL APRENDIZAJE

I.- UNIDAD DE TRABAJO: CIFRAS SIGNIFICATIVAS,REDONDEO DE CIFRAS Y NOTACIÓN CIENTIFICA

II-PROGRAMA INFORMACIÓN:

· Concepto de cifra significativa

· Redondeo de cifras

· La notación científica

III.- OBJETIVOS.-

· Importancia de la cifra significativa

Obtienen redondeo de números y cifras significativas

IV.- INICIO.- Motivación.-(10 min.).- Los alumnos realizan ejercicios prácticos sobre las cifras significativas y ejercitan en su cuaderno con redondeo de números naturales y decimales.

V.- PROCESO. ADQUISICIÓN Y RETENCIÓN (65 min.)

1.- CIFRAS SIGNIFICATIVAS (CS).- Se llama cifras significativas de la medida al conjunto de cifras exactas más la primera cifra dudosa.

caracteristicas

· El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal.

Ejemplo 1.- Mi estatura es de 1,72 m o 172 cm. Tiene 3 cifras significativas

· Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas.

Ejemplo 2.- El botón tiene un diámetro de 0,026 m. 2 Cifras significativas (CS)

· Los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas.

1,005 A tiene 4 CS

Actividad.- Señala el número de CS de las siguientes medidas:

0,000 000 580 m

9,11 kg

1,50 watts

1017 s

5 000 V

9,789 600 m/s

2 55 500 K

Reglas para determinar el número de cifras significativas en una medida:

Los números diferentes de 0 siempre son significativos.
Ejemplo: 32.2356g tiene 6 cifras
Los ceros entre números siempre son significativos.
Ejemplo: 208.3g tiene 4 cifras
Todos los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.
Ejemplo: 7.30 g tiene 3 cifras
Los ceros que sirven para ubicar el punto decimal no se cuentan.
Ejemplo: 0.0345g tiene 3 cifras y 563.0g también tiene 3 cifras
Conviértelos en notación científica y lo verás.
Números que resultan de contar o constantes definidas, tienen infinitas cifras significativas.
Ejemplo: contaste 24 estudiantes, esa medida tiene infinitas cifras porque es un número exacto

2.- CARACTERISTICAS.-

1.- SI son CS todas las cifras diferentes de cero.-

Ejemplo:

2,365 tiene 4 CS

2.- SI son CS los que tienen ceros entre los dígitos

Ejemplo:

49,0306---------Tiene 6 CS

208.3g tiene 4 cifras

3.- SI son CS ceros finales a la derecha del punto decimal.
Ejemplo: 7.30 g tiene 3 cifras

5.- NO son CS todo número con ceros a la izquierda del primer digito mayor que cero.

Ejemplo

0,00543--------Tiene 3 cifras significativas

6.- No son cifras significativas si provienen de redondear o convertir un número. Ejemplo

24 m ----- 2400 cm ------- tiene 2 cifras significativas

30g------ tiene 2 cifras significativas

EJERCICIOS.-

1.- Precisar el número de cifras significativas en los siguientes resultados obtenidos en pruebas de laboratorio

a).- 200.0 cm

b).- 40,0 m

c).- 8,00 m

d).- 0,009 cm

e).- 32,25 mm

f).- 24,049 s

g).- 4,08 kg

h).- 0,033km.

i).- 22,67 m

j).- 3,030 kg

OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS:

SUMAS Y RESTAS.- Se alinea por punto decimal los números y el resultado tendrá tantos lugares decimales como el dato menos exacto (con menos lugares después del punto). Mira el ejemplo:

30.47       4 cs
23.2         3 cs        ← MENOS exacto, menos lugares después del punto
+ 5.455    4 cs
59.125

59.1 tiene que tener 3 cs

Ejemplo 2

2 459,5 m 5 cs ← MENOS exacto, menos lugares después del punto

0,0648 m 3 cs

12,345 m 5 cs

125,35 m 5 cs

2597,2598

Respuesta = 2597.3 5 CS

El resultado se expresa con el menor número de decimales y se aplica el redondeo.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISION,

Ejemplo 1.- Digamos que tienes que sacar la densidad del líquido azul en el cilindro graduado. Mediste el volumen que es 38.4 cm³ y sabes que tiene 3 CS. La masa del líquido es de 33.79 g medida con 4 CS. Para hallar la densidad necesitas dividir la masa entre el volumen.

Densidad = m/v

33.79 g = 0.87994791666666666666666666666667 = 0.880 g/cm³ 3CS

38.4 cm³

Se redondea al número menor de cifras significativas que es 3

la respuesta tendrá el mismo número de cifras significativas que el factor que tenga MENOS cifras. En este caso el volumen tenía 3 cifras y la masa 4 cifras por lo tanto el resultado tendrá 3 cifras.

Ejemplo 2.-

MULTIPLICACION.- 1,2 cm x 6,7 cm = 75,04 = 75 cm²

DIVISION 11,2 cm² = 1,6716417910447761194029850746269 = 1,7 cm

6,7 cm

El resultado se expresa con el menor número de cifras significativas y se aplica el redondeo. Operaciones complejas El resultado se expresa con el menor número de cifras significativas

3- redondeo de CIFRAS

Reglas para redondear

●Si el dígito que vas a eliminar es mayor que 5 aumenta en 1 al que se queda
8.236 → 8.24

●Si el dígito que vas a eliminar es menor que 5, no hagas cambios en el que se queda
8.231 → 8.23

●Si el dígito que vas a eliminar es 5 seguido de un número que no sea 0 el que se queda se aumenta
8.2353→8.24

●Si el dígito que vas a eliminar es 5 seguido de 0 mira al próximo que sigue, si es impar aumentas y si es par lo dejas igual
8.23503→8.24
8.23502→8.23

EJERCICIOS.- Redondea los siguientes números hasta dos dígitos

459 kg 8,0010 Aº 583000 s

7,7 m 29,0 dm 3,05 hm

0,608 N 7 x 5 x 10⁴ cd 7,35 g

0,2635 g 3,339 x 10^-518,5 g

0,0634 mm 7080 m/s 0,220 Kg

4.- Notacion cientifica.-

Concepto.- Es un modo abreviar números demasiado grandes o demasiado pequeños sean enteros ó reales, mediante una técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de diez.

Esa cifra puede ser del 1 al 9 (no puede ser cero)

Base diez

Exponente que es un número entero

1200 = 1,2 x 10³

Mantisa

VENTAJAS DE LA NOTACION CIENTIFICA

1.- Evita operaciones engorrosas

2.- Disminuye la probabilidad de error

3.- Da una correcta impresión acerca del grado de aproximación del número dado

FORMA DE ESCRIBIR UN NÚMERO EN POTENCIA DE BASE 10

Cualquier número puede escribirse en potencias de base 10 como producto de dos factores. Siendo el primer factor el numero comprendido entre 1 y 9 y el segundo una potencia de base 10.

Ejemplo 1.-

5,4000 = 5,4 x 10⁴

En este ejemplo, la coma ha sido desplazado cuatro cifras a la derecha hasta lograr 5,4 número comprendido entre 1 y 10

La potencia de base 10 tiene como exponente 4 positivo porque la coma se desplaza cuatro cifras a la izquierda.

Ejemplo 2.-

324 = 3,24 x 10²

Ejemplos;

la velocidad de la luz es de ..................................300 000 000 m/seg .

Notación: 3 x 10⁸ m/seg

La capacidad de almacenamiento de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes, lo que equivale a ................................500 000 000 000 000 bytes.

Notación: 5 x 10¹⁴ bytes

La longitud de onda de los rayos cósmicos, ....... 0,000000000000001 metros.

Notación: 1 x 10^{-14 metros}

EJEMPLOS.- Observa ahora detenidamente las dos columnas que se te presentan a continuación para expresar los valores de potencias de diez.

10⁰ = 1

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10⁴ = 10 000

10⁵ = 100 000

10⁶ = 1 000 000

10^-1 = 0,1

10^-2 = 0,01

10^-3 =0,001

10-⁴= 0,000 1

10^-5 = 0,000 01

.Ejemplo:

10³ = 1000

El exponente es positivo y su valor es igual a la unidad seguida de tantos ceros y su valor es igual a la unidad siguiente.

Ejemplo

10^-3 = 0,001

El exponente es negativo y su valor es igual a un decimal con tantas cifras decimales como lo indica el exponente.

ACTIVIDAD.- Escriba en notación científica los siguientes números

a)	529 745 386	=	5,29 x 10⁸
b)	450		4,5 x 10²
c)	590 587 348 584		5,9 x 10¹¹
d)	0,3483		3,5 x 10^-1
e)	0,000987		9,87 x 10^-4

4.- FORMAS DE ESCRIBIR UN NÚMERO EN POTENCIA DE BASE DIEZ

Ejercicos

a).- 529 745 386-------------5,29 x 10⁸o 5,3 x 10⁸queremos restaurar ahora el número original, en este caso será necesario multiplicar 5,3 x 100 000 000

b).- 0,000987----------9,87 x 10^-4
o9,9 x 10^-4----llevará el signo “menos” para indicar que esta notación corresponde a un número fraccionario en lugar de uno entero.

c.- 54 000------------------- 5,4 x 10⁴

d.- 324---------------------- 3,24 x 10²

e.- 0,000076----------------7,6 X 10^-5

h.- 178 cm.------------------- 1,78 x 10²

i.- 0,00376 kg--------------- 3,76 x 10^-3

f.- 9 875 000--------------- 9,875 x 10⁶ j.- 0,009--------------------- 9 x 10^-3

g.- 0,86----------------------- 8,6 x 10-¹ k.- 136 400---------------- 1,364 x 10⁵

l.-3,58----------------------- 358 x 10 ^-2 ll.- 8----------------------------- 8 x 10⁰

m.-0,008--------------- 8 x 10^-3n.- 384------------------------ 3,84 x 10²

o.- 7000 --------------- 7 x 10³p. 0,09--------------------- 9 x 10^-2

RESUELVA.- Diga si es V y F si los siguientes números están mal escritos en notación científica:

A.. 0,04 x 10^-6 ( V )

b.. 950 x 100^-12 ( F)

c. 0,0074 x 1¹⁸. ( f )

d. 110 x 10⁰ ( V )

e. 210 x 1^{0 ( F})

5.- OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

SUMA Y RESTA EXPONENCIAL

Ejemplo.-Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado

5 x 10⁶ + 2 x 10⁶ = 7 x 10⁶

Ejemplo 2: Para sumar o restar números con notación exponencial, primero igualamos los exponentes, luego realizamos las operaciones indicadas con la parte decimal y a continuación coloca el numero exponencial de la base 10

Efectuar la siguiente operación

6040 + 260 = 6300

6,040 x 10³ + 2,60 x 10²

SOLUCION.- En el ejemplo observamos que los exponentes son diferentes, por lo que igualamos el segundo termino respecto del primero

2,60 x 10² convertir a la misma base >>>> 0,26 x 10³

Ahora los exponentes son iguales, por lo que sumamos las operaciones indicadas como en el ejemplo anterior

6,040 x 10³ +0,26 x 10³

6.040 +0.26 x 10³= 6,30 x 10³

Respuesta= 6,30 x 10³= 6300

MULTIPLICACIÓN.-Se multiplican las mantisas y se suman las potencias de diez:

En la multiplicación y división exponencial las operaciones se vuelven mucha mas simples, siguiendo las leyes establecidas por la algebra elemental para las operaciones de potencias.

Ejemplo 1.- Efectúa 0,0021 x 30 000 000

SOLUCION...Primero expresamos los números en potencia de 10, luego multiplicamos separadamente los coeficientes y súmanos algebraicamente los exponentes.

0,0021 x 30 000 000

2,1 x 10^-3 x 3 x 10⁷

2,1 x 3 x 10^-3x 10⁷

6,3 x 10^{-3 +7}

6,3 x 10⁴

Respuesta= 6,3 x 10⁴

Ejemplo 2: (4 x 10⁶) x (2 x 10⁶) = 8 x 10¹²

POTENCIACIÓN.-Se potencia la mantisa y se multiplican los exponentes: Ejemplo: (3·10⁶)² = 9x10¹²

Radicación.- Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de la raíz

Ejemplo: $\sqrt{16\cdot 10^{26}} = 4\cdot 10^{13}$

Ejercicos 1.- Escribir en notación científica

a).- 529 745 386------------5,29 x 10⁸

b).- 0,000987----------------9,87 x 10^-4.

c.- 54 000------------------- 5,4 x 10⁴

d.- 324---------------------- 3,24 x 10²

e.- 0,000076----------------7,6 X 10^-5

h.- 178 cm------------------- 1,78 x 10²

i.- 0,00376 kg--------------- 3,76 x 10^-3

f.- 9 875 000--------------- 9,875 x 10⁶ j.- 0,009--------------------- 9,0 x 10^-3

g.- 0,86----------------------- 8,6 x 10-¹ k.- 136 400---------------- 1,364 x 10⁵

l.-3,58----------------------- 3,8 x 10⁰ ll.- 8----------------------------- 8 x 10⁰

m.-0,008--------------- 8 x 10^-3n.- 384------------------------ 3,84 x 10²

o.- 7000 --------------- 7 x 10³p. 0,09--------------------- 9 x 10^-2

EJERCCIOS 2.- Resuelve en notación científica lo siguiente:

a).- 3,34

e).- 14800 x 10⁴

b).- 3,800400

f.).- 198000 x 10²

c).- 0,0000000039

d.- 1,38

d.- 14 x 10⁰

operaciones con notación científica

a).- Resolver 400 x 1500

4 x 10² x 1,5 x 10³ (4 x 1,5) x 10 ^{2 +3}6 x 10⁵

b).- Resolver 60 : 30 000

6 x 10¹

3 x 10⁴ 6

3 x 10 ^1-42 x 10 ^-3

c.- Resolver

(900)³ (0,0002)²(9 x 10² )³ (2 x10^-5)²

0,000 000 036 3,6 x 10^-8

(3²x 10²)³ (2 x10^-5)²3^2x3 x 10^2x3 x (2²x 10^-5x2)

3² x2²x10^-9 3² x 2² x 10^-9

3⁶ x 10⁶ x 2^-2 x10 ^{-10 =}3^6-2x 2^2-2x 10^{6 -10}=3⁴ x 2⁰ x 10⁵ = 3⁴ x10⁵ = 81x 10⁵

3² x 2² x 10^-9

VI:_ RECUERDO y desempeño.-

CUESTIONARIO.-

1. ¿Qué es la cifra significativa

2. ¿Cómo se realiza el redondeo de cifra?

3. ¿Qué es notación científica?

4. Para que se usa la notación científica

5. A cuanto equivale un mega, un kilo, un nano, un pico, un giga y un tera y un micro

6. Si un metal raro cuesta 5 nuevos soles por miligramo ¿Como costara por kilo? Rpta. 5 x 10⁶ soles oro

7. La altura de un hombre es de 1,80 m y su masa es de 80 kg. Expresar su altura en milímetros y su masa en gramos, Rpta. 1,8 x 10⁵mm y 8 x 10⁴ gramos

8. Nuestro famoso nevado Huascarán tiene 6780 m de altura. Expresar dicha altura en hectómetros. Rpta. 67.8 hm

9. Un cabello humano crece a razón de 0,72mm por día. Expresar este cálculo en notación científica.

10. Empleando la notación científica escribir

a).- 200

b).- 450 000

c).- 0,000 5

d).- 0, 000 000 037

e).- 783 000 000 000 000

11- Expresar en forma usual

a). 4 x 10 ^-3

b).- 7 x 10⁶

c).- 4,2 x 10⁸

d).- 5,5 x 10^-9

e).- 1,6 x 10 ^-31

f). 6.67 x 10^-2

12.- Efectuar las operaciones indicadas y dar los resultados en notación científica

a).- 1 800 x 210

b).- 36 100 : 0,19

c).- 2,635 x 26,35

0,000263 5

d).- 0,003 x49 000 0.9

8 100 x 3 600 x 0, 07

CIENCIA Y TECNOLOGÍA